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连续统之迷-经典-数学

标签:数学 儿童 第一 二次 时间:2014-11-06  来源:学习园地
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导读:   (注:文中将阿拉法零记为a(0),阿拉法一记为a(1),依次类推……)  由于a(0)是无穷基数,阿拉法是有异于有限运算的神奇运算,因而,以下的结果也不足为怪:  a(0)+1=a(0)  a(0)+n=a(0)  a(0)+a(0)=a(0)  a(0)×n=a(0) ...
连续统之迷-经典-数学
  (注:文中将阿拉法零记为a(0),阿拉法一记为a(1),依次类推……)

  由于a(0)是无穷基数,阿拉法是有异于有限运算的神奇运算,因而,以下的结果也不足为怪:

  a(0) + 1 = a(0)
  a(0) + n = a(0)
  a(0) + a(0) = a(0)
  a(0) ×n = a(0)
  a(0) ×a(0) = a(0)
  
  a(0)是自然数集的基数。一个无穷基数,只要是可数集,其基数必为a(0) 。由可排序性,可知如整数集、有理数集的基数为a(0);或由它们的基数为a(0),得它们为可数集。而实数集不可数(可由康托粉尘线反证不可数)推之存在比a(0)更大的基数。乘法运算无法突破a(0), 但幂集可突破:a(0)2 = a(1)
  
  可以证明实数集的基数card(R) = a(1)。进而,阿拉法"家族"一发而不可收:a(1)2= a(2); a(2)2 = a(3);  ……
  
  a(2)究竟有何意义?人们冥思苦想,得出:空间所有曲线的数目。但而后的a(3),人类绞尽脑汁,至今未能道出眉目来。此外,还有一个令人困惑的连续统之迷:"a(0)与a(1)之间是否还存在另一个基数?"
  
  公元1878年,康托提出了这样的猜想:在a(0)与a(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。
  
  公元1900年,在巴黎召开的第二次国际数学家会议上,德国哥庭根大学教授希尔伯特提出:在举世闻名的23个二十世纪须攻克的数学问题中,连续统假设显赫地排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。
  
  公元1938年,奥地利数学家哥德尔证明了"连续统假设决不会引出矛盾",意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。1963年,美国数学家柯亨居然证明了:"连续统假设是独立的,也就是说连续统假设根本不可能被证明。"


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